Question

已知數(shù)列{a_n}：1，，，，…，，…．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II）設，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意，可求得a_n+1-a_n為定值，利用定義判斷即可；
（II）由（Ⅰ），結合題意可求得b_n=n•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
解答：解：（I）∵a_n=1+++…+=1+=，
∴a_n+1-a_n=-=，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，為公差的等差數(shù)列；
（II）∵b_n===n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
點評：本題考查等差關系的確定，考查數(shù)列的求和，突出考查錯位相減法在解決由等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應項之積構成的數(shù)列求和中的作用，屬于中檔題．