已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，且
m
•
n
=-1，又A、B、C為△ABC的三個內角，且B=
π
3
，A≤B≤C．
（Ⅰ）求向量
n
；
（Ⅱ）若向量
n
與向量
q
=(1，0)的夾角為
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，試求|
n
+
p
|的取值范圍．
（Ⅰ）設
n
=（x，y），由
m
•
n
=-1可得x+y=-1． ①…（2分）
由向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，得
m
•
n
=|
m
|•|
n
|•cos
3
4
π，∴-1=
2
×
x2+y2
×(-
2
2
)，得x2+y2=1．②…（4分）
由①②解得
x=-1
y=0
，或
x=0
y=-1
，可得
n
=（-1，0），或
n
=（0，-1）．     …（6分）
（Ⅱ）由向量
n
與向量
q
=（1，0）垂直知
n
=（0，-1）．      …（7分）
∵△ABC的三個內角中，B=
π
3
，A≤B≤C，∴C=
2π
3
-A，0＜A≤
π
3
．   …（8分）
∴
n
+
p
=（cosA，2cos2
C
2
-1）=（cosA，cosC），…（9分）
∴|
n
+
p
|2=cos2A+cos2C=
1+cos2A
2
+
1+cos2C
2
  …（10分）
=
1
2
[cos2A+cos(
4π
3
-2A)]+1=
1
2
[cos2A-
1
2
cos2A-
3
2
sin2A]+1=
1
2
[
1
2
cos2A-
3
2
sin2A]+1=
1
2
cos(2A+
π
3
)+1． …（12分）
∵0＜A≤
π
3
，∴
π
3
＜2A+
π
3
≤π，∴-1≤cos(2A+
π
3
)＜
1
2
，∴
1
2
≤
1
2
cos(2A+
π
3
)+1＜
5
4
．
∴
2
2
≤|
n
+
p
|＜
5
2
，即|
n
+
p
|的取值范圍是[
2
2
，
5
2
)．       …（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|
n
+
p
|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，A≤B≤C，設f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值為5-2
2
，關于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相異實根，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)，記f(x)=
m
•
n
，
（1）求f（x）的值域和單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(λ+1，1)，
n
=(λ+2，2)，若（
m
+
n
)⊥(
m
-
n
)⊥(
m
-
n
)，則λ=
-3
-3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
與
q
=(1，0)共線，向量
p
=(2cos2
C
2
，cosA)，其中A、C為△ABC的內角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，且
n
•
m
=-1
（1）求向量
n
的坐標；
（2）若向量
n
與向量
i
的夾角為
π
2
，向量
p
=(x2，a2)，
q
=(a2，x)，求關于x的不等式(
p
+
n
)•
q
＜1的解集．

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