Question

已知函數(shù)．
⑴當(dāng)時，①若的圖象與的圖象相切于點(diǎn)，求及的值；
②在上有解，求的范圍；
⑵當(dāng)時，若在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）①，②時，；時， （2）時，；時，．.

試題分析：（1）①本題為曲線切線問題,一般從設(shè)切點(diǎn)出發(fā),利用切點(diǎn)在切線上.切點(diǎn)在曲線上,切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率三個方面建立等量關(guān)系,從而解出，②方程有解問題，一般利用分離法，求函數(shù)值域解決.由于定義域不定，需討論極值為零的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，這決定了單調(diào)區(qū)間,也決定了最值.（2）不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為最值問題，這也需要分離變量. 即，在求函數(shù)值域時，有兩個難點(diǎn)，一是判斷極值為零的點(diǎn)，二是討論極值為零的點(diǎn)是否在內(nèi).
試題解析：⑴
①，            3分
②即與在上有交點(diǎn)…4分
，時在上遞增，；
時在上遞增，在上遞減且， ……7分
時，；時，                8分
⑵即，
即在上恒成立，                     9分
令，
令，則為單調(diào)減函數(shù)，且，      12分
∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，               13分
若，則在上單調(diào)遞增，
∴，∴；
若，則在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
∴，∴                    15分
∴時，；時，．           16分