Question

已知函數(shù)f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.

（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；

（Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) f（x）=f（e）=e－e－1.

(2) 滿足條件的a的取值范圍是（－，1）

【解析】

試題分析：

考點(diǎn)：解：（Ⅰ）若a=1 ，則f（x）=x|x－1|－lnx.

當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0，

所以f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴f（x）=f（e）=e－e－1.             4分

（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>.      *

（i）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，

所以a∈R；                                                      5分

（ii）當(dāng)x=1時(shí)，|1－a|≥0，=0，所以a1；                      6分

（iii）當(dāng)x>1時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于a<x－恒成立或a>x+恒成立.

令h（x）=x－，則h′（x）=.

因?yàn)閤>1，所以h′（x）>0，從而h（x）>1.

因?yàn)閍<x－恒成立等價(jià)于a<（h(x)），所以a≤1.

令g（x）=x+，則g′（x）=.再令e（x）=x+1－lnx，則e′（x）=2x－>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上無最大值.               11分

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（－，1）.                  12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題。