設f（x）＝x2＋px＋q，A＝{x｜x＝f（x）}，B＝{x｜x＝f[f（x）]}.

(1)求證：AB.

(2)如果A＝{－1，3}，求B.

 

答案：
解析：

(1)證明：設x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.

∵A＝{x｜x＝f（x）}  ∴x0＝f（x0）

則有f[f（x0）]＝f（x0）＝x0.

∴x0∈B，故AB成立.

(2)∵A＝{－1，3}＝{x｜x2＋px＋q＝x}.

∴方程x2＋（p－1）x＋q＝0有兩根－1和3.

∴由韋達定理得：

∴f（x）＝x2－x－3.

因B的元素是方程f[f（x）]＝x的解.

即（x2－x－3）2－（x2－x－3）－3＝x的根.

由方程變形得：

（x2－x－3）2－x2＝0.

∴（x2－2x－3）（x2－3）＝0.

∴x＝－1或x＝3或x＝±.

故B＝{－，－1，，3}

 


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