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（1）設{an}是等差數列，求證：以bn=
a1+a2+…+an
n
（n∈N*）為通項公式的數列{bn}是等差數列．
（2）已知
1
a
，
1
b
，
1
c
成等差數列，求證
b+c
a
，
a+c
b
，
a+b
c
也成等差數列．
分析：（1）由{an}是等差數列，可得an+1-an=d常數，a1+a2+…+an=
n(a1+an)
2
．
于是bn=
n(a1+an)
2
n
=
a1+an
2
，只要證明bn+1-bn為常數即可．
（2）由
1
a
，
1
b
，
1
c
成等差數列，可得
2
b
=
1
a
+
1
c
，即b=
2ac
a+c
．只要證明
2(a+c)
b
-
b+c
a
-
a+b
c
=0即可．
解答：證明：（1）∵{an}是等差數列，∴an+1-an=d常數，a1+a2+…+an=
n(a1+an)
2
．
∵bn=
n(a1+an)
2
n
=
a1+an
2
，
∴bn+1-bn=
a1+an+1
2
-
a1+an
2
=
an+1-an
2
=
1
2
d為常數，
∴數列{bn}是等差數列．
（2）∵
1
a
，
1
b
，
1
c
成等差數列，∴
2
b
=
1
a
+
1
c
，∴b=
2ac
a+c
．
∴
2(a+c)
b
-
b+c
a
-
a+b
c
=
(a+c)2
ac
-
b(a+c)+a2+c2
ac
=
(a+c)2-(2ac+a2+c2)
ac
=0．
∴
2(a+c)
b
=
b+c
a
+
a+b
c
．
∴
b+c
a
，
a+c
b
，
a+b
c
也成等差數列．
點評：熟練掌握等差數列定義、通項公式及其前n項和公式是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．
（1）寫出數列{an}的前3項；
（2）求數列{an}的通項公式（寫出推證過程）；
（3）令bn=
1
2
(
an+1
an
+
an
an+1
)(n∈N)，求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設{an}是公差d≠0的等差數列，Sn是其前n項的和．
（1）若a1=4，且
S3
3
和
S4
4
的等比中項是
S5
5
，求數列{an}的通項公式；
（2）是否存在p，q∈N*，且p≠q，使得Sp+q是S2p和S2q的等差中項？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設{an}是正數組成的數列，其前n項的和為Sn，并且對于所有的自然數n，存在正數t，使an與t的等差中項等于Sn與t的等比中項．
（1）求 {an}的通項公式；
（2）若n=3時，Sn-2t•an取得最小值，求t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•威海一模）設{an}是單調遞增的等差數列，Sn為其前n項和，且滿足4S3=S6，a2+2是a1，a13的等比中項．
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）是否存在m，k∈N*，使am+am+4=ak+2？說明理由；
（III）若數列{bn}滿足b1=-1，bn+1-bn=an，求數列{bn}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

(1)寫出數列{an}的前3項.

(2)求數列{an}的通項公式(寫出推證過程).

(3)令bn=(n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n).

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