Question

6．已知拋物線${C_1}：{x^2}=4y$的焦點(diǎn)F也是橢圓${C_2}：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)，C₁與C₂的公共弦的長為$2\sqrt{6}$．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）作斜率為k的直線l與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），求得a和b的關(guān)系，由C₁與C₂的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得$∠AOB＞\frac{π}{2}$，可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)，故不存在實(shí)數(shù)k．

解答 解：（1）由C₁：x²=4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）．
因?yàn)镕也是橢圓C₂的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a²-b²=1．①
又C₁與C₂的公共弦的長為$2\sqrt{6}$，C₁與C₂都關(guān)于y軸對稱，
且C₁的方程為x²=4y，
由此易知C₁與C₂的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），所以$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{6}{b^2}=1$．②
聯(lián)立①，②得a²=9，b²=8．
故C₂的方程為$\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1$．
（2）由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{8{y^2}+9{x^2}=72}\\{y=kx+k}\end{array}}\right.$，
整理得 （9+8k²）x²+16k²x+8k²-72=0．
設(shè)A（x₁，kx₁+k），B（x₂，kx₂+k），
于是有x₁+x₂=$\frac{{-16{k^2}}}{{9+8{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{8{k^2}-72}}{{9+8{k^2}}}$．
因?yàn)?\overrightarrow{OA}=（{{x_1}，k{x_1}+k}），\overrightarrow{OB}=（{{x_2}，k{x_2}+k}）$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（kx₁+k）（kx₂+k）=$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+{k^2}（{{x_1}+{x_2}}）+{k^2}$=$\frac{{-55{k^2}-72}}{{9+8{k^2}}}＜0$．
所以$∠AOB＞\frac{π}{2}$．
可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)．
∴不存在實(shí)數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．