Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=cos²x-asinx+b的定義域?yàn)閇0，2π]，值域?yàn)閇-4，0]．試求a，b的值．

Answer 1

分析：通過配方化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=cos²x-asinx+b為：f(x)=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1，利用定義域求出函數(shù)的最值，然后解出a，b的值．

解答：解：f(x)=(1-sin2x)-asinx+b=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1．
令t=sinx，由x∈[0，2π]得t∈[-1，1]，則y=f(x)=-(t+

a

2

)2+

a2

4

+b+1，
由a＞0得其對(duì)稱軸t=-

a

2

＜0，
①當(dāng)-

a

2

≤-1，即a≥2時(shí)，t=1時(shí)函數(shù)取得最小值，t=-1時(shí)函數(shù)取得最大值，有

0-a+b=-4 a+b=0

，
得a=2，b=-2；
②當(dāng)-1＜-

a

2

＜0，即0＜a＜2時(shí)，t=-

a

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值，t=1時(shí)函數(shù)取得最小值，有

a2 4 +b+1=0 b-a=-4

，
得a=-2或a=-6（舍去）．
∴a=2，b=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，利用三角函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的最值，是解三角函數(shù)問題的常用方法，注意函數(shù)的值域與定義域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)常用方法．