Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，a1=

2

3

，且當(dāng)n≥2時(shí)，S_nS_n-1-3S_n+2=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若bn=

1

Sn-1

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{

Sn+1-1

Sn-1

}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：

n

2

-

1

7

＜Tn＜

n

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題可通過(guò)遞推公式由首項(xiàng)a₁求出數(shù)列的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)．
（Ⅱ）由bn=

1

Sn-1

，用b_n表示出S_n，然后代入S_nS_n-1-3S_n+2=0中，就可以求得數(shù)列{b_n}的遞推式，通過(guò)構(gòu)造即可求得其通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）要證不等式成立，需先求出T_n，需要利用前面的結(jié)論求出{

Sn+1-1

Sn-1

}的通項(xiàng)公式，然后通過(guò)放縮即可證明不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵當(dāng)n≥2時(shí)，s_ns_n-1-3s_n+2=0，a1=

2

3

．
∴當(dāng)n=2時(shí)，

2

3

s2-3s2+2=0，解得s2=

6

7

．
則a2=s2-a1=

6

7

-

2

3

=

4

21

．
當(dāng)n=3時(shí)，

6

7

s3-3s3+2=0，解得s3=

14

15

，可得a3=

8

105

．
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，s_ns_n-1-3s_n+2=0，由bn=

1

Sn-1

得sn=1+

1

bn

，
于是(1+

1

bn

)(1+

1

bn-1

)-3(1+

1

bn

)+2=0，
化簡(jiǎn)，得b_n=2b_n-1-1，從而b_n-1=2（b_n-1-1），
∴{b_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列．∴b_n-1=（b₁-1）•2^n-1=-2ⁿ⁺¹，b_n=-2ⁿ⁺¹+1．
（Ⅲ）由（2），得

Sn+1-1

Sn-1

=

bn

bn+1

=

1-2n+1

1-2n+2

=

1

2

-

1

8•2n-2

=

1

2

-

1

7•2n+2n-2n

．
∴

1

2

-

1

7•2n

≤

Sn+1-1

Sn-1

＜

1

2

．
從而

n

2

-

1

7

 (1-

1

2n

)≤Tn＜

n

2

，

n

2

-

1

7

＜Tn＜

n

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，在證明不等式時(shí)注意放縮法的應(yīng)用．是中檔題．