Question

已知函數(shù) f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（x） 的最小值；
（Ⅱ）當(dāng) a≤0 時(shí)，討論函數(shù) f（x） 的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
當(dāng)a=1 時(shí)，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

…（2分）
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2時(shí)取得極小值且為最小值，其最小值為 f（2）=-2ln2…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

2a

x

+(a-2)=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，…（5分）
∴（1）當(dāng)-2＜a≤0時(shí)，若x∈（0，-a）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（-a，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
（3）當(dāng)a＜-2時(shí)，x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（2，-a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（-a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)…（9分）
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)
又函數(shù)g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函數(shù)g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

…（10分）
要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，…（12分）
故存在實(shí)數(shù)a∈(-∞，-

1

2

]時(shí)，對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，…（14分）