Question

在Rt△ABC，∠C=90°中，且∠A、∠B、∠C所對邊分別為a，b，c，若a+b=cx，則實數(shù)x的取值范圍為

（1，

2

）

．

Answer 1

分析：由∠C=90°，得到sinC=1，然后利用正弦定理表示出a與b，代入a+b=cx，表示出x，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，從而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，得到x的范圍．

解答：解：∵∠C=90°，∴sinC=1，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=c，
∴a=csinA，b=csinB，
∴a+b=csinA+csinB=cx，即sinA+sinB=x，
又A+B=90°，即B=90°-A，
∴sinB=sin（90°-A）=cosA，
則x=sinA+sinB=sinA+cosA=

2

（

2

2

sinA+

2

2

cosA）=

2

sin（A+

π

4

），
∵

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1），
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

），
則x∈（1，

2

）．
故答案為：（1，

2

）

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中根據(jù)正弦定理表示出a與b是本題的突破點(diǎn)．