Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n²-a_nS_n+2a_n=0．
（1）求a_n．
（2）若b_n=2^n-1，記{

1

bnSn

}前n項和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n²-a_nS_n+2a_n=0由推出數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列，進而求出S_n，再求出a_n；
（2）用裂項求和法求出T_n，不等式得證．

解答： 解：（1）由S₁=a₁=1，S_n²-a_nS_n+2a_n=0知，
（1+a₂）²-a₂（1+a₂）+2a₂=0，
解得，a₂=-

1

3

，S₂=

2

3

，
∵S_n²-a_nS_n+2a_n=0，
∴S_n²-（S_n-S_n-1）S_n+2（S_n-S_n-1）=0，
∴S_n-1S_n+2S_n-2S_n-1=0，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
則數(shù)列{

1

Sn

}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
則

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
則S_n=

2

n+1

，
則當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

；
則a_n=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

．
（2）由題意，
T_n=

1

21-1

×1+

1

22-1

×

3

2

+

1

23-1

×2+…+

1

2n-1

×

n+1

2

①；
2T_n=2×1+

1

21-1

×

3

2

+

1

22-1

×2+…+

1

2n-2

×

n+1

2

②；
②-①得，
T_n=2+

1

2

（

1

21-1

+

1

22-1

+

1

23-1

+…+

1

2n-2

）-

1

2n-1

×

n+1

2

=2+

1

2

×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

n+3

2n

＜3．

點評：本題考查了數(shù)列通項公式的求法，同時考查了裂項求和法，第一問的跨度較大，是難點．