Question

5．已知點F（1，0），直線l：x=-1，直線l'垂直l于點P，線段PF的垂直平分線交l'于點Q．
（1）求點Q的軌跡方程C；
（2）過F做斜率為$\frac{1}{2}$的直線交C于A，B，過B作l平行線交C于D，求△ABD外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用題意結(jié)合拋物線的定義即可確定軌跡方程；
（2）首先求得圓心坐標(biāo)，然后結(jié)合弦長公式求得半徑的值，據(jù)此整理計算即可求得最終結(jié)果．

解答 解：（1）由垂直平分線的性質(zhì)可知：PQ=PF，結(jié)合拋物線的定義可得Q點的軌跡方程是以F點為焦點，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程C為：y²=4x．
（2）由題意可得，直線l的方程為：$y=\frac{1}{2}（x-1）$，
與拋物線方程C聯(lián)立整理可得：y²-8y-4=0，則：y₁+y₂=8，y₁y₂=-4，
很明顯△ABD外接圓的圓心為線段AB的垂直平分線與x軸的交點，
設(shè)AB中點為E，則 ${y}_{E}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=4，{x}_{E}=\frac{（2{y}_{1}+1）+（2{y}_{2}+1）}{2}=9$，
中垂線方程為：y-4=-2（x-9），令y=0可得圓心坐標(biāo)為：（11，0），
利用弦長公式：$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}×|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{5}×\sqrt{{（{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=20$，
圓心到直線AB：x-2y-1=0的距離為：$d=\frac{|11-2×0-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{（-2）}^{2}}}=2\sqrt{5}$，
設(shè)圓的半徑為R，據(jù)此有：${R}^{2}={（2\sqrt{5}）}^{2}+{10}^{2}=120$，
則△ABD外接圓的方程是（x-11）²+y²=120．

點評 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．