Question

4．如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，△A₁BC是正三角形，B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅰ）求證：面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，從而A₁A⊥平面ABC，由此能證明面A₁AC⊥面ABC．
（Ⅱ）該幾何體的體積：V=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}BA}+{V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）∵在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，
△A₁BC是正三角形，B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，
∴A₁C=A₁B=$\sqrt{2}$，₁A=AC=1，
滿足${A}_{1}{A}^{2}+A{C}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$，
∴A₁A⊥AC，
又A₁A⊥AB，且AB∩AC=A，∴A₁A⊥平面ABC，
∵A₁A?平面A₁AC，∴面A₁AC⊥面ABC．
解：（Ⅱ）依題意得該幾何體的體積：
V=${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}BA}+{V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
=$\frac{1}{3}×{S}_{{A}_{1}{B}_{1}BA}×CA$+$\frac{1}{3}×{S}_{{△A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}×{A}_{1}A$
=$\frac{1}{3}×1×1+\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}）×1$
=$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．