Question

函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_k+1，k為正整數(shù)，a₁=

1

2

，則a_n=

(

1

2

)n

．

Answer 1

分析：由y=x²（x＞0），知函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線方程為：2akx-y-ak2=0 ，當(dāng)y=0時(shí)，x=a_k+1=

1

2

ak，由a₁=

1

2

，知{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，由此能求出a_n．

解答：解：∵y=x²（x＞0），
∴y′=2x，f′（a_k）=2a_k，
∴函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線方程為：
y-ak2=2ak(x-ak)，
整理，得2akx-y-ak2=0 ，
當(dāng)y=0時(shí)，x=a_k+1=

1

2

ak，
∵a₁=

1

2

，∴{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n．
故答案為：(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的切線方程、等比數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．