Question

18、
甲乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)內，且每次射擊成績互不影響，射擊環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下圖所示，若將頻率視為概率，回答下列問題．
（Ⅰ）求甲運動員在一次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率；
（Ⅱ）求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率；
（Ⅲ）若甲、乙兩運動員各射擊1次，ξ表示這2次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖形可知，一次射擊中甲擊中7，8環(huán)的概率均為0.1，擊中9環(huán)的概率為0.45，利用對立事件得出擊中10環(huán)的概率為1-0.45-0.1-0.1=0.35，從而得出甲擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率即可；
（Ⅱ）設甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）為事件A，結合n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式即可求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率．
（III）根據(jù)題意，ξ表示這2次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)的取值是0、1、2，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出結果分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由圖形可知，一次射擊中甲擊中7，8環(huán)的概率均為0.1，擊中9環(huán)的概率為0.45，
又因為他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)內，因此擊中10環(huán)的概率為1-0.45-0.1-0.1=0.35，所以甲擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率為0.45+0.35=0.8（或解P=1-0.2=0.8）…（3分）
（Ⅱ）設甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）為事件A
則P（A）=C₃¹0.8×0.2²+C₃²0.8²×0.2+C₃³0.8³=0.096+0.384+0.512=0.992（或解P（A）=1-0.2³=0.992）…（8分）
（Ⅲ）由題意可知ξ=0，1，2，由圖可知乙一次射擊擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率為 0.75P（ξ=0）=0.20×0.25=0.05，P（ξ=1）=0.80×0.25+0.75×0.20=0.35P（ξ=2）=0.80×0.75=0.60…（11分）
因此ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	0.05	0.35	0.60

Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.60=1.55…（14分）

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．