Question

設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數，當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，則函數y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，可得：當0＜x＜

π

2

時，函數f（x）單調遞增；當

π

2

＜x＜π時，函數f（x）單調遞減．又當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，可得出函數y=f（x）的圖象．函數f（x）是偶函數，同理可得函數f（x）在[-π，0]上的圖象．由于定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，可得函數f（x）在[π，3π]上的圖象，再畫出函數y=cosx在[0，3π]上的圖象：可知函數y=f（x）-cosx在[0，3π]有且僅有3個交點，并且交點不在y軸．由函數f（x）與函數y=cosx都是偶函數，同理可得在[-3π，0）上有且僅有3個零點．

解答： 解：∵當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0，
∴當0＜x＜

π

2

時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；當

π

2

＜x＜π時，f′（x）＜0，此時函數
f（x）單調遞減．
又當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，可得出函數y=f（x）的圖象．
∵函數f（x）是偶函數，同理可得函數f（x）在
[-π，0]上的圖象．
∵定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，
∴可得函數f（x）在[π，3π]上的圖象，
再畫出函數y=cosx在[0，3π]上的圖象：可知函數y=f（x）-cosx在[0，3π]有且僅有3個交點，并且交點不在y軸．
由函數f（x）與函數y=cosx都是偶函數，同理可得在[-3π，0）上有且僅有3個零點．
綜上可知：函數y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為6．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、余弦函數的圖象與性質、函數的奇偶性與周期性，考查了函數的零點轉化為兩個函數圖象的交點，考查了數形結合的能力，考查了推理能力，屬于難題．