經(jīng)過原點作圓x2＋y2＋2x－4y＋4=0的割線，交圓于A、B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.

解法一:設弦AB的中點M的坐標為(x，y).

由x2＋y2＋2x－4y＋4=0得(x＋1)2＋(y－2)2=1.

設圓心為C，則C(－1，2).

連結CM，則CM⊥OM.∴kCM·kOM=－1.

當x≠0且x≠－1時，有·=－1.

化簡得x2＋y2＋x－2y=0.

當x=0時，點M不存在.

當x=－1時，點M與點C重合，

∴M(－1，2)適合方程x2＋y2＋x－2y=0.

∵點M在圓內(nèi)，

∴點M的軌跡為圓x2＋y2＋2x－4y＋4=0內(nèi)的部分.

由得x1=－，x2=0.

∴－＜x＜0.

故弦AB的中點M的軌跡方程是x2＋y2＋x－2y=0(－＜x＜0).

解法二:設弦AB的中點M的坐標為(x，y).

由x2＋y2＋2x－4y＋4=0得圓心C的坐標為(－1，2)，連結CM，則CM⊥OM.

∴點M在以OC為直徑的圓上.

∵OC的中點坐標為(－，1)，

|OC|==,

∴點M的軌跡方程為(x＋)2＋(y－1)2=，即x2＋y2＋x－2y=0.

由得x1=－，x2=0.

∴－＜x＜0.

故弦AB的中點M的軌跡方程是x2＋y2＋x－2y=0(－＜x＜0).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•許昌三模）已知圓C的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為y=kx+
3
(k＞0)，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線M：y=x2+bx（b≠0）與x軸交于O，A兩點，交直線l：y=x于O，B兩點，經(jīng)過三點O，A，B作圓C．
（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；
（II）求證：圓C經(jīng)過除原點外的一個定點；
（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C1的方程為x2+（y-2）2=1，定直線l的方程為y=-1．動圓C與圓C1外切，且與直線l相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；
（ II）直線l′與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線l'的垂線恰好經(jīng)過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記S為△POQ（O為坐標原點）的面積，求S的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省無錫市洛社高中高二（上）10月段考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，拋物線M：y=x2+bx（b≠0）與x軸交于O，A兩點，交直線l：y=x于O，B兩點，經(jīng)過三點O，A，B作圓C．
（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；
（II）求證：圓C經(jīng)過除原點外的一個定點；
（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？

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科目：高中數(shù)學 來源：許昌三模 題型：解答題

已知圓C的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為y=kx+
3
(k＞0)，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

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