Question

某商店每天（開始營(yíng)業(yè)時(shí)）以每件15元的價(jià)格購(gòu)入A商品若干（A商品在商店的保鮮時(shí)間為8小時(shí)，該商店的營(yíng)業(yè)時(shí)間也恰好為8小時(shí)），并開始以每件30元的價(jià)格出售，若前6小時(shí)內(nèi)所購(gòu)進(jìn)的A商品沒有售完，則商店對(duì)沒賣出的A商品將以每件10元的價(jià)格低價(jià)處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，2小時(shí)內(nèi)完全能夠把A商品低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購(gòu)進(jìn)A商品）．該商店統(tǒng)計(jì)了100天A商品在每天的前6小時(shí)內(nèi)的銷售量，由于某種原因 銷售量頻數(shù)表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)被污損而不能看清，制成如下表格（注：視頻率為概率）．

前6小時(shí)內(nèi)的銷售量X（單位：件）	3	4	5
頻數(shù)	30	x	y

（Ⅰ）若某天商店購(gòu)進(jìn)A商品4件，試求商店該天銷售A商品獲取利潤(rùn)ξ的分布列和均值；
（Ⅱ）若商店每天在購(gòu)進(jìn)4件A商品時(shí)所獲得的平均利潤(rùn)最大，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)商店某天銷售A商品獲得的利潤(rùn)為ξ，分別可求得當(dāng)需求量為3，4，5時(shí)的利潤(rùn)ξ的值，進(jìn)而可得分布列，和期望，（即均值）；（Ⅱ）可得商店每天購(gòu)進(jìn)的A商品的件數(shù)取值可能為3件，4件，5件．當(dāng)購(gòu)進(jìn)A商品3件時(shí)，Eξ=（30-15）×3×0.3+（30-15）×3×0.4+（30-15）×3×0.3=45，同理可得當(dāng)購(gòu)進(jìn)A商品4件時(shí)，Eξ=54，當(dāng)購(gòu)進(jìn)A商品5件時(shí)，Eξ=63-0.2x，由題意63-0.2x≤54，解得x≥45，又知x≤100-30=70解之可得可得x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)商店某天銷售A商品獲得的利潤(rùn)為ξ（單位：元）
當(dāng)需求量為3時(shí)，ξ=15×3-5×（4-3）=40，
當(dāng)需求量為4時(shí)，ξ=15×4=60，
當(dāng)需求量為5時(shí)，ξ=15×4=60，…（2分）
ξ的分布列為

ξ	40	60
P	0.3	0.7

則Eξ=40×0.3+60×0.7=54（元）
所以商店該天銷售A商品獲得的利潤(rùn)均值為54元．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)銷售A商品獲得的利潤(rùn)為Y，
依題意，視頻率為概率，為追求更多的利潤(rùn)，
則商店每天購(gòu)進(jìn)的A商品的件數(shù)取值可能為3件，4件，5件．
當(dāng)購(gòu)進(jìn)A商品3件時(shí)，
EY=（30-15）×3×0.3+（30-15）×3×0.4+（30-15）×3×0.3=45，
當(dāng)購(gòu)進(jìn)A商品4件時(shí)，
EY=[（30-15）×3-（15-10）×1]×0.3+[（30-15）×4]×

x

100

+[（30-15）×4]×

70-x

100

=54…（8分）
當(dāng)購(gòu)進(jìn)A商品5件時(shí)，
EY=[（30-15）×3-（15-10）×2]×0.3+[（30-15）×4-（15-10）×1]×

x

100

+[（30-15）×5]×

70-x

100

=63-0.2x
由題意63-0.2x≤54，解得x≥45，又知x≤100-30=70
所以x的取值范圍為[45，70]，x∈N^*．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及數(shù)學(xué)期望的求解和不等式的解法，屬中檔題．