Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1），對于任意的x，y∈（-1，1），有，且當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗證函數(shù)是否滿足上述這些條件；
（Ⅱ）你發(fā)現(xiàn)這樣的函數(shù)f（x）還具有其它什么樣的主要性質(zhì)？試就函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的結(jié)論寫出來，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，得，解之得-1＜x＜1，得函數(shù)的定義域為（-1，1）；…
∵==
==
∴成立，…
又∵當(dāng)x＜0時，1-x＞1+x＞0，∴，可得成立
綜上所述，可得函數(shù)滿足題意所述條件．…
（II）發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）是區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且是減函數(shù)．
證明如下
①將x=0代入條件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入條件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．　…
②以-y代替y，代入條件得，
結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)得
當(dāng)-1＜x＜y＜1時＜0，結(jié)合已知條件得
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），
因此，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．…
分析：（I）根據(jù)函數(shù)g（x）的解析式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，分別對g（x）+g（y）與進行化簡，可得g（x）+g（y）=成立．再由當(dāng)x＜0時成立，即可得到函數(shù)滿足題意所述條件；
（II）利用賦值法先求出f（0）=0，再證出f（x）+f（-x）=f（0）=0，從而得出函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；再根據(jù)函數(shù)對應(yīng)法則證出，進而得到x＜y時有f（x）＞f（y），因此函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
點評：本題給出抽象函數(shù)，驗證函數(shù)的特殊性質(zhì)并討論了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．著重考查了對弈的運算法則、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數(shù)問題具體化，是解決這類問題的關(guān)鍵所在．