Question

對于任意的平面向量，定義新運(yùn)算⊕：．若為平面向量，k∈R，則下列運(yùn)算性質(zhì)一定成立的所有序號是    ．
①=；    ②；    ③
④；     ⑤．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設(shè)向量，=（m，n），進(jìn)而分析所給的命題：對于①，計(jì)算⊕與⊕，分析可得①正確，對于②，分別計(jì)算（k）⊕與⊕（k），分析即可得②錯誤；對于③，先計(jì)算⊕，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得k（⊕），同理可得（k）⊕（k），分析可得③錯誤；對于④，先計(jì)算⊕，進(jìn)而可得⊕（⊕），同理計(jì)算可得（⊕）⊕=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），分析可得④正確；對于⑤，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得+，進(jìn)而可得⊕（+），結(jié)合題意，計(jì)算可得⊕、⊕，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得⊕+⊕，分析可得⑤正確；綜合可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，設(shè)向量，=（m，n），
分析命題：
對于①，⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），⊕=（x₂+x₁，y₂y₁），則⊕=⊕，則①正確；
對于②，（k）⊕=（kx₁+x₂，ky₁y₂），而⊕（k）=（x₁+kx₂，ky₁y₂），有（k）⊕≠⊕（k），則②錯誤；
對于③，⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），k（⊕）=k（x₁+x₂，y₁y₂）=（kx₁+kx₂，ky₁y₂），而（k）⊕（k）=（kx₁+kx₂，k²y₁y₂），有k（⊕）≠（k）⊕（k），③錯誤；
對于④，⊕=（m+x₂，ny₂），⊕（⊕）=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），而⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），（⊕）⊕=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），有⊕（⊕）=（⊕）⊕，④正確；
對于⑤，+=（m+x₂，n+y₂），⊕（+）=（m+x₁+x₂，y₁n+y₁y₂），而⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），⊕=（m+x₂，ny₂），⊕+⊕=（2m+x₁+x₂，y₁y₂+ny₂），⑤正確；
即①④正確；
故答案為①④．
點(diǎn)評：本題是新定義的題型，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)題意，套用題干中的新運(yùn)算“⊕”．