Question

已知函數(shù)f（x）=+．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）設F（x）=•[f²（x）-2]+f（x）（a為實數(shù)），求F（x）在a＜0時的最大值g（a）；
（3）對（2）中g（a），若-m²+2tm+≤g（a）對a＜0所有的實數(shù)a及t∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由1+x≥0且1-x≥0可求得定義域，先求[f（x）]²的值域，再求f（x）的值域；
（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，則=-1，由此可轉化為關于t的二次函數(shù)，按照對稱軸t=-與t的范圍[，2]的位置關系分三種情況討論，借助單調性即可求得其最大值；
（3）先由（2）求出函數(shù)g（x）的最小值，-≤g（a）對a＜0恒成立，即要使-≤g_min（a）恒成立，從而轉化為關于t的一次不等式，再根據(jù)一次函數(shù)的單調性可得不等式組，解出即可．
解答：解：（1）由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，
所以函數(shù)的定義域為[-1，1]，
又[f（x）]²=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，
所以函數(shù)值域為[，2]；
（2）因為F（x）==a++，
令t=f（x）=+，則=-1，
∴F（x）=m（t）=a（-1）+t=，t∈[，2]，
由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=，t∈[，2]的最大值．
注意到直線t=-是拋物線m（t）=的對稱軸．
因為a＜0時，函數(shù)y=m（t），t∈[，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
①若t=-∈（0，]，即a≤-，則g（a）=m（）=；
②若t=-∈（，2]，即-＜a≤-，則g（a）=m（-）=-a-；
③若t=-∈（2，+∞），即-＜a＜0，則g（a）=m（2）=a+2，
綜上有g（a）=，
（3）易得，
由-≤g（a）對a＜0恒成立，即要使-≤g_min（a）=恒成立，
⇒m²-2tm≥0，令h（t）=-2mt+m²，對所有的t∈[-1，1]，h（t）≥0成立，
只需，
解得m的取值范圍是m≤-2或m=0，或m≥2．
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)定義域、值域的求法，考查學生對問題的轉化能力，恒成立問題往往轉化為函數(shù)最值問題解決．