Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R，且x＞0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立．
（1）求f（1）；   
（2）證明方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根；
（3）若x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根據(jù)函數(shù)f（x）（x∈R，且x＞0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構(gòu)造關(guān)于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）（x∈R，且x＞0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，我們可以判斷出函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，結(jié)合（1）的結(jié)論及單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．
（3）由（2），（1）的結(jié)論，我們易將不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0轉(zhuǎn)化為a＞-x²-x在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；（2分）
證明：（2）任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，則題意得f（

x2

x1

）＞0
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由（1）和f（1）=0，
所以1為方程f（x）=0的一個(gè)實(shí)根，若還存在一個(gè)x₀，且x₀＞0，使得f（x₀）=0，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，必有x₀=1，故方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根；（8分）
解：（3）由（2）知函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0=f（1）恒成立，即

x2+2x+a

x

＞1恒成立
即x²+2x+a＞x，即a＞-x²-x在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立
∵-x²-x在x∈[1，+∞）時(shí)最大值為-2
∴a＞-2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是“湊配”思想的應(yīng)用，（2）的關(guān)鍵是將f（xy）=f（x）+f（y），變型為f（xy）-f（y）=f（x），從而得到f（x₁）-f（x₂）=f（

x2

x1

），（3）的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0進(jìn)行變形．