Question

已知函數(shù)f（x）=x|x|-2ax+1（x，a∈R）有下列四個結(jié)論：
（1）當(dāng)a=0時，f（x）的圖象關(guān)于原點對稱
（2）f（|x|）有最小值1-a²
（3）若y=f（x）的圖象與直線y=2有兩個不同交點，則a=1
（4）若f（x）在R上是增函數(shù)，則a≤0
其中正確的結(jié)論為（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（3）
D．（3）（4）

Answer 1

【答案】分析：（1）若f（x）的圖象關(guān)于原點對稱則f（0）=0，因為f（0）=1所以（1）錯．
（2）函數(shù)f（|x|）=f（|-x|）所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時y=x²-2ax+1此時其對稱軸為x=a．所以（2）錯．
（3）（4）根據(jù)函數(shù)的圖象可得若y=f（x）的圖象與直線y=2有兩個不同交點，則a=1，若f（x）在R上是增函數(shù)，則a≤0所以（3）（4）正確．
解答：解：（1）當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=x|x|+1由題得x∈R所以x=0有意義，所以所以當(dāng)a=0時，f（x）的圖象不關(guān)于原點對稱．（1）錯．
（2）f（|x|）=x²-2a|x|+1，所以函數(shù)f（|x|）=f（|-x|）所以函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時y=x²-2ax+1此時其對稱軸為x=a，當(dāng)a≤0時函數(shù)的最小值為1，由函數(shù)是偶函數(shù)得當(dāng)x≥0時函數(shù)的最小值也是1，所以f（|x|）有最小值1-a²是錯誤的．（2）錯．
（3）由題意得y=f（x）=，
當(dāng)a＜0時與a≥0時函數(shù)的圖象分別為

所以若y=f（x）的圖象與直線y=2有兩個不同交點，則a=1．（3）正確．
（4）由（3）可得當(dāng)a≤0時函數(shù)函數(shù)f（x）=x|x|-2ax+1是增函數(shù)．（4）正確．
故選D．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等性質(zhì)，解決此類問題的方法是根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題．