Question

已知集合A={x∈R|mx²-4x+1=0}，若A∩[

1

3

，2]僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：分兩種情況考慮，當(dāng)m=0時(shí)與m≠0時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的解法，求出m的范圍即可．

解答： 解：當(dāng)m=0時(shí)，A中方程為-4x+1=0，即x=

1

4

，即A={

1

4

}，此時(shí)A∩[

1

3

，2]=∅，不合題意；
當(dāng)m≠0時(shí)，分兩種情況考慮：△=0，即m=4時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)方程的解為x=

1

2

，滿足題意；
當(dāng)△=16-4m＞0，即m＜4時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)f（x）=mx²-4x+1=0，由A∩[

1

3

，2]僅有一個(gè)元素，得到f（

1

3

）•f（2）≤0，
代入得：（

1

9

m-

4

3

+1）（4m-8+1）≤0，即（

1

9

m-

1

3

）（4m-7）≤0，
解得：

7

4

≤m＜3，
綜上，實(shí)數(shù)m的范圍為{m|

7

4

≤m＜3或m=4}．
故答案為：{m|

7

4

＜m＜3或m=4}

點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的個(gè)關(guān)鍵．