Question

如圖：在底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為底面ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離等于它到直線AA₁的距離，則P點(diǎn)的軌跡方程是（ ）

A．y²=
B．y²=-4
C．x²=y
D．x²=-2y

Answer 1

【答案】分析：先判斷PA表示P到直線AA₁的距離，從而可得點(diǎn)P到A的距離等于點(diǎn)P到直線BC的距離，利用拋物線的定義，可求軌跡及方程．
解答：解：由題意，AA₁⊥平面ABCD，PA?平面ABCD
∴AA₁⊥PA
∴PA表示P到直線AA₁的距離
∵點(diǎn)P到直線BC的距離等于它到直線AA₁的距離
∴點(diǎn)P到A的距離等于點(diǎn)P到直線BC的距離
∴P點(diǎn)的軌跡為拋物線，
以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸或y軸，過(guò)原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)垂直于AB的直線為y軸或x軸
∵底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是：y²=±2x，x²=±2y
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題以正四棱柱為載體，考查拋物線的定義，判斷PA表示P到直線AA₁的距離是解題的關(guān)鍵．