Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M為OA的中點(diǎn).。

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大��；

（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離.

Answer 1

解：方法一（綜合法）：

（Ⅰ）∵CD∥AB

∴為異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角），

作于點(diǎn)P，連接MP，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴AB與MD所成角的大小為。

（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，∴點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等。連接OP，過(guò)點(diǎn)A作

于點(diǎn)Q，

∵，∴

∴，∴，

又∵， ，線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離。

∵，

，

∴，∴點(diǎn)B到平面OCD的距離為。

方法二（向量法）：

作于點(diǎn)P，如圖，分別以AB、AP、AO所在直線為、、軸建立直線坐標(biāo)系。

（Ⅰ）設(shè)AB與MD所成角為，

∵，

∴

∴

∴AB與MD所成角的大小為。

（Ⅱ）∵

∴設(shè)平面OCD的法向量為，則

，

得

取，解得，設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為，則為在向量上的投影的絕對(duì)值。

∵，∴，

所以，點(diǎn)B到平面OCD的距離為。