Question

2．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0）有公共焦點(diǎn)F，且在第一象限的交點(diǎn)為P（3，2$\sqrt{6}$）．
（1）求拋物線C₁，雙曲線C₂的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩動(dòng)直線被拋物線C₁截得的弦分別為AB，CD，弦AB、CD的中點(diǎn)分別為G、H，探究直線GH是否過(guò)定點(diǎn)，若GH過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若直線GH不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）P（3，2$\sqrt{6}$）代入拋物線C₁：y²=2px（p＞0），可得p，求出拋物線方程．焦點(diǎn)F（2，0），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}=4}\end{array}\right.$，求出a，b，可得雙曲線C₂的方程；
（2）欲證明直線GH過(guò)定點(diǎn)，只需求出含參數(shù)的直線GH的方程，觀察是否過(guò)定點(diǎn)即可．設(shè)出A，B，G，H的坐標(biāo)，用A，B坐標(biāo)表示G，H坐標(biāo)，求出直線GH方程，化為點(diǎn)斜式，可以發(fā)現(xiàn)直線必過(guò)點(diǎn)（3，0）．

解答 解：（1）P（3，2$\sqrt{6}$）代入拋物線C₁：y²=2px（p＞0），可得p=4，∴拋物線C₁：y²=8x；
焦點(diǎn)F（2，0），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}=4}\end{array}\right.$，∴a=1，b=$\sqrt{3}$，∴雙曲線C₂的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）
把直線AB：y=k（x-2）代入y²=8x，得：
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，∴x₃=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₃=k（x₃-2）=$\frac{4}{k}$，
同理可得，x₄=2+4k²，y₄=-4k，
∴k_GH=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
∴直線GH為y-$\frac{4}{k}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$），即y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-3），過(guò)定點(diǎn)P（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線、雙曲線的方程，以及直線過(guò)定點(diǎn)的判斷，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．