Question

設(shè)圓O的方程為x²+y²=r²（r＞0），A（-r，0）、B（0，r）為直徑的端點(diǎn)，C（x₀，y₀）是圓上的任意一點(diǎn)，從點(diǎn)A作直線m垂直于過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線l，交直線BC于M．
（I）求l的方程；
（II）求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)Q（x，y）是切線l上異于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，利用向量

CQ

與

OC

互相垂直得

OC

•

CQ

=0，建立關(guān)于x₀、y₀、x、y的等式并利用x₀²+y₀²=r²化簡(jiǎn)，即可得到切線l的方程；
（II）算出l的斜率k=-

x0

y0

，由切線的性質(zhì)得AM的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出AM的方程．再由直線方程的兩點(diǎn)式給出直線 BC的方程，聯(lián)解得到BC、AC交點(diǎn)M坐標(biāo)進(jìn)而得到C坐標(biāo)關(guān)于x、y、r的形式，代入圓0的方程化簡(jiǎn)即得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（I）設(shè)Q（x，y）是切線l上異于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)
則

CQ

=（x-x₀，y-y₀），
∵

OC

=（x₀，y₀），且

CQ

與

OC

互相垂直
∴

OC

•

CQ

=0，得x₀（x-x₀）+y₀（y-y₀）=0，化簡(jiǎn)得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²
∵點(diǎn)C（x₀，y₀）是圓上一點(diǎn)，可得x₀²+y₀²=r²
∴切線l的方程為x0x+y0y=r2．
（II）由題意知C不與A、B重合，
∵AM⊥l，∴由直線l的斜率k=-

x0

y0

，得kAM=

-1

k

=

y0

x0

，
故AM的方程為y=

y0

x0

•(x+r)，化簡(jiǎn)得y₀x-x₀y+y₀r=0．①
又由兩點(diǎn)式得直線BC的方程為y₀x-（x₀-r）y=-y₀r．②
由方程①、②聯(lián)解，得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足x0=

x+r

2

，y0=

y

2

．
又∵C（x₀，y₀）在圓x²+y²=r²上，
∴可得(

x+r

2

)2+(

y

2

)2=r2，化簡(jiǎn)整理得（x+r）²+y²=4r²．
結(jié)合點(diǎn)M不可能在x軸上，得點(diǎn)M的軌跡方程為（x+r）²+y²=4r²．（y≠0）

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的切線和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．著重考查了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．