Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n²=（

1

2

） bn，c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2，a_n，S_n成等差數(shù)列得到數(shù)列遞推式，求出首項(xiàng)，取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入a_n²=（

1

2

） bn，求出b_n后代入c_n=

bn

an

，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）由題意知2a_n=S_n+2，①
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+2，a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+2，②
①-②得：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴通項(xiàng)公式為an=a1qn-1=2n；
（2）由a_n²=（

1

2

） bn，得
bn=log

1

2

an2=-log222n=-2n，
∴c_n=

bn

an

=

-2n

2n

=-

n

2n-1

．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Tn=-

1

20

-

2

21

-

3

22

-…-

n-1

2n-2

-

n

2n-1

，

1

2

Tn=-

1

21

-

2

22

-

3

23

-…-

n-1

2n-1

-

n

2n

．
兩式作差得：

1

2

Tn=-1-

1

2

-

1

22

-…-

1

2n-1

+

n

2n

=-

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2n

．
∴Tn=

n

2n-1

+

1

2n-2

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．