Question

已知等差數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，a₁=1，且a₂，a₃+4，2a₇+1構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的公差d；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜2（n∈N，且n＞1）．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出公差，注意公差大于0；
（2）求出前n項和S_n=n²，得到

1

Sn

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1），再求和即可證得，注意n的取值．

解答： （1）解：∵等差數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，∴a_n=a₁+（n-1）d（d＞0）
∵a₂，a₃+4，2a₇+1構(gòu)成等比數(shù)列．∴a₂（2a₇+1）=（a₃+4）²，
即（1+d）（3+12d）=（5+2d）²，解得d=2（負值舍去）
數(shù)列{a_n}的公差d為2；
（2）證明：∵S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=n+n（n-1）=n²，
∴

1

Sn

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2（n∈N，且n＞1）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，放縮法證明不等式，同時考查運用裂項相消求數(shù)列的和，注意n的取值．