Question

橢圓=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）為焦點，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點，∠AOB=90°，求弦AB的長；并求△AOB的面積．（其中O為坐標(biāo)原點）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由設(shè)條件知，由此能導(dǎo)出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=x+b，聯(lián)立方程組，整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，由∠AOB=90°，知x₁x₂+y₁y₂=0，從而解得b=．直線方程為y=x，再由弦長公式和點到直線的距離公式能夠求出弦長AB和△AOB的面積．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，
∴a²=8，b²=4，
∴橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=x+b，聯(lián)立方程組，
整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∵∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴，解得b=．
∴直線方程為y=x．
，
∴
=．
∵O到直線y=x的距離為，
∴△AOB的面積==．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意弦長公式和點到直線的距離公式的合理運用．