Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）記三棱錐P-ABD體積為V₁，四棱錐P-BDEF體積為V₂，且，求此時線段PO的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)EF⊥AC得PO⊥EF，由平面PEF⊥平面ABEFD結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證出PO⊥平面ABEFD，從而得到PO⊥BD．由此結(jié)合AO⊥BD，利用線面垂直判定定理即可證出BD⊥平面POA；
（2）由PO⊥平面ABEFD，得PO是三棱錐P-ABD和四棱錐P-BDEF的高，因此將化簡可得S_△ABD=S_{四邊形BDEF}，從而得到S_△CEF=S_△BCD．最后根據(jù)△CEF∽△CDB，利用面積比等于相似比的平方，結(jié)合菱形ABCD中有關(guān)數(shù)據(jù)即可算出此時線段PO的長等于．
解答：解：（1）∵在菱形ABCD中，BD⊥AC，∴AO⊥BD
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF
∵平面PEF⊥平面ABEFD，平面PEF∩平面ABEFD=EF，PO?平面PEF
∴PO⊥平面ABEFD，結(jié)合BD?平面ABEFD，可得PO⊥BD
∵AO⊥BD，且AO、PO是平面POA內(nèi)的相交直線
∴BD⊥平面POA；
（2）設(shè)AO、BO相交于點H，由（1）得PO⊥平面ABEFD，
∴PO是三棱錐P-ABD和四棱錐P-BDEF的高
∴V₁=S_△ABD•PO，V₂=S_{四邊形BDEF}•PO，
∵，可得S_△ABD=S_{四邊形BDEF}，
∴S_{四邊形BDEF}=S_△ABD=S_△BCD，可得S_△CEF=S_△BCD．
∵BD⊥AC，EF⊥AC，EF∥BD，∴△CEF∽△CDB，
因此，=，可得CO=CH=AH
∵菱形ABCD中，邊長為4且∠DAB=60°
∴△ABD是邊長為4的正三角形，得AH=×4=2，從而得到CO=×=
∴此時線段PO的長等于．
點評：本題給出平面折疊問題，求證BD⊥平面POA，并在已知三棱錐P-ABD體積與四棱錐P-BDEF體積比的情況下求線段PO的長．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、錐體的體積公式和運用三角形相似求線段比值等知識，屬于中檔題．