Question

某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間[2，4]的有8人．

（1）求直方圖中a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)；
（2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由直方圖能求出a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)．
（2）由已知得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，
解得a=0.0375，
因為甲班學習時間在區(qū)間[2，4]的有8人，
所以甲班的學生人數(shù)為

8

0.2

=40，
所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人．
所以甲班學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為3人，
在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，
ξ的所有可能取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 0 3 C 4 4

C 4 7

=

1

35

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 3 4

C 4 7

=

12

35

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 2 4

C 4 7

=

18

35

，
P(ξ=3)=

C 3 3 C 1 4

C 4 7

=

4

35

．
所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．