【題目】在平面直角坐標系中,圓,以為圓心的圓記為圓,已知圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為21.
(1)求圓的標準方程;
(2)求過點且與圓相切的直線的方程;
(3)已知直線與軸不垂直,且與圓,圓都相交,記直線被圓,圓截得的弦長分別為,.若,求證:直線過定點.
【答案】(1);(2)或;(3)證明見解析.
【解析】
(1)因為,可得圓為圓心,半徑為,設為圓心的圓記為圓,設半徑為,由圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為,可得,即可求得圓方程,即可求得答案;
(2)分別討論切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況,當切線的斜率存在時,設直線方程為,設直線到圓的距離為,由直線和圓相切,可得,求得,即可求得答案;
(3)設直線的方程為,求得圓心,圓心到直線的距離分別為,,根據(jù)幾何關系可得:,,結合,即可求得和關系式,即可求得方程,進而求得直線過定點.
(1)
圓為圓心,半徑為
設為圓心的圓記為圓,設半徑為
由圓上的點與圓上的點之間距離的最大值為.
可得
解得
圓的標準方程為.
(2)①當切線的斜率不存在時,直線方程為符合題意;
②當切線的斜率存在時,
設直線方程為,
即,
直線和圓相切,
設直線到圓的距離為
,
解得,從而切線方程為.
故切線方程為或
(3)設直線的方程為,
則圓心,圓心到直線的距離分別為,,
幾何關系可得:,
,.
由,得,
整理得,故,
即或,
直線為或,
直線過點定點或直線過定點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有編號為1,2,3…n的n個學生,入座編號為1,2,3…n的n個座位,每個學生規(guī)定坐一個座位, 設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為, 已知時, 共有6種坐法.
(1)求的值;
(2)求隨機變量的概率分布列及數(shù)學期望.
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【題目】流行性感冒(簡稱流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一種傳染性強、傳播速度快的疾。渲饕ㄟ^空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播,在我國北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個流行高峰.兒童相對免疫力低,在幼兒園、學校等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春期該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
年齡() | |||||
患病人數(shù)() |
(1)求關于的線性回歸方程;
(2)計算變量、的相關系數(shù)(計算結果精確到),并回答是否可以認為該幼兒園去年春期患流感人數(shù)與年齡負相關很強?(若,則、相關性很強;若,則、相關性一般;若,則、相關性較弱.)
參考數(shù)據(jù):.
參考公式:,
相關系數(shù).
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【題目】樹林的邊界是直線(如圖所在的直線),一只兔子在河邊喝水時發(fā)現(xiàn)了一只狼,兔子和狼分別位于的垂線上的點點和點處,(為正常數(shù)),若兔子沿方向以速度向樹林逃跑,同時狼沿線段方向以速度進行追擊(為正常數(shù)),若狼到達處的時間不多于兔子到達M處的時間,狼就會吃掉兔子.
(1)求兔子的所有不幸點(即可能被狼吃掉的點)的區(qū)域面積;
(2)若兔子要想不被狼吃掉,求的取值范圍.
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【題目】設A,B,C,D為平面內的四點,且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D點的坐標;
(2)設向量,,若k–與+3平行,求實數(shù) 的值.
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【題目】從某校參加期中考試的高一學生中隨機抽取100名得到這100名學生語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:.
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學生語文成績的平均分,眾數(shù),中位數(shù);
(3)已知學生的語文成績?yōu)?/span>123分,現(xiàn)從成績在中的學生中隨機抽取2人參加演講賽,求學生被抽中的概率.
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【題目】已知甲箱中裝有3個紅球,2個黑球,乙箱中裝有2個紅球,3個黑球,這些球除顏色外完全相同,某商場舉行有獎促銷活動,規(guī)定顧客購物1000元以上,可以參與抽獎一次,設獎規(guī)則如下:每次分別從以上兩個箱子中各隨機摸出2個球,共4個球,若摸出4個球都是紅球,則獲得一等獎,獎金300元;摸出的球中有3個紅球,則獲得二等獎,獎金200元;摸出的球中有2個紅球,則獲得三等獎,獎金100元;其他情況不獲獎,每次摸球結束后將球放回原箱中.
(1)求在1次摸獎中,獲得二等獎的概率;
(2)若3人各參與摸獎1次,求獲獎人數(shù)X的數(shù)學期望;
(3)若商場同時還舉行打9折促銷活動,顧客只能在兩項促銷活動中任選一項參與.假若你購買了價值1200元的商品,那么你選擇參與哪一項活動對你有利?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠APC=90°,∠BPD=120°,PB=PD.
(1)求證:平面APC⊥平面BPD;
(2)若AB=2AP=2,求三棱錐C-PBD的體積.
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