Question

（2013•浙江模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點A（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如果過點（0，

3

5

）的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N點與A點不重合），求

AM

•

AN

的值；當△AMN為等腰直角三角形時，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓所過點A可求得b值，由離心率及a²=b²+c²可求得a值，從而得橢圓方程；
（Ⅱ）①易判斷直線MN存在斜率，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的方程為y=kx+

3

5

，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理、向量的數(shù)量積運算即可求得

AM

•

AN

的值；②由①知：∠MAN=90°，設(shè)MN的中點為P，由△AMN為等腰直角三角形得AP⊥MN，由中點坐標公式可得P點坐標，分情況討論：若k=0易求此時直線MN方程；若k≠0，則kAP=-

1

k

，由斜率公式可得k的方程，解出得k，根據(jù)點斜式可求得直線MN方程，綜上可得答案；

解答：解：（I）因為橢圓經(jīng)過點A（0，-1），所以b=1，
又e=

c

a

=

a2-1

a

=

3

2

，解得a=2，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（II）①若過點（0，

3

5

）的直線的斜率不存在，此時M，N兩點中有一個點與A點重合，不滿足題目條件，
所以直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則MN的方程為y=kx+

3

5

，
把y=kx+

3

5

代入橢圓方程得（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

24k

5(1+4k2)

，x1•x2=-

64

25(1+4k2)

，
y1+y2=k(x1+x2)+

6

5

=

6

5(1+4k2)

，y1•y2=k2x1•x2+

3

5

k(x1+x2)+

9

25

=

-100k2+9

25(1+4k2)

，
因為A（0，-1），
所以

AM

•

AN

=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
=-

64

25(1+4k2)

+

-100k2+9

25(1+4k2)

+

6

5(1+4k2)

+1=0；
②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN為等腰直角三角形，設(shè)MN的中點為P，則AP⊥MN，且P(-

12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

)，
若k=0，則P（0，

3

5

），顯然滿足AP⊥MN，此時直線MN的方程為y=

3

5

；
若k≠0，則kAP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

，
所以直線MN的方程為y=±

5

5

x+

3

5

，即

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0．
綜上所述，直線MN的方程為y=

3

5

或

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及直線與橢圓位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運算，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．