Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，則{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個(gè)數(shù)為

0或1

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可得到函數(shù)f（x）為定義在R上的增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)增函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得其圖象與直線y=a至多有一個(gè)交點(diǎn)，分析{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的幾何意義，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，
即t＞0時(shí)，f（x+t）-f（x）＞0，
t＜0時(shí)，f（x+t）-f（x）＜0，
即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，減小而減小
則函數(shù)f（x）為定義在R上的增函數(shù)
則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a至多有一個(gè)交點(diǎn)
故{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個(gè)數(shù)為0或1
故答案為：0或1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合中元素個(gè)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象，其中正確理解{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的幾何意義，即判斷函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．