Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），
兩式相減得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）
∴a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

，則a_n+1-1=-

1

2

（a_n-1），（4分）
由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=

1

2

，則

a2-1

a1-1

=-

1

2

，
故數(shù)列{a_n-1}是以1為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
則a_n-1=（a₁-1）（-

1

2

）^n-1，
∴a_n=（-

1

2

）^n-1+1，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-

1

2

）^n-1+1]-λ-n²=λ（-

1

2

）^n-1-n²．
由題意得b_2n-1＞b_2n，則有λ（-

1

2

）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-

1

2

）^2n-1-（2n）²，
即λ（-

1

2

）^2n-2[1-（-

1

2

）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-

(4n-1)•4n

6

，（10分）
而-

(4n-1)•4n

6

對(duì)于n∈N^*時(shí)單調(diào)遞減，則-

(4n-1)•4n

6

的最大值為-

(4-1)4

6

=-2，
故λ＞-2．（12分）