Question

數(shù)列{a_n} （n∈N^*）為遞減的等比數(shù)列，且a₁和a₃為方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）的兩個(gè)根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程即4x²-5x+1=0，利用韋達(dá)定理可得a₁ +a₃=，a₁ •a₃=．再由數(shù)列{a_n}為遞減的等比數(shù)列可得a₁ =1，a₃=，可得公比的值，從而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng) b_n=（-），用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n 的值．
解答：解：（1）方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）即 5x-4x²=1，即4x²-5x+1=0．
利用韋達(dá)定理可得a₁ +a₃=，a₁ •a₃=．再由數(shù)列{a_n} （n∈N^*）為遞減的等比數(shù)列可得a₁ =1，a₃=，故公比為．
∴a_n=．
（2）∵b_n====（-）．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=[（1-）+++…+=（1-）=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，屬于中檔題．