Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：．
（Ⅰ）問數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，求出a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=8后容易判斷出{a_n}既不為等差數(shù)列也不為等比數(shù)列．
（Ⅱ）（解法一）對(duì)任意正整數(shù)n，2 ⁿ⁺¹是偶數(shù)，得出，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（解法二）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，，得，
所以數(shù)列是每項(xiàng)均為0的常數(shù)列，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式
（Ⅲ） （解法一）設(shè)數(shù)列{（n+1）qⁿ}的前n項(xiàng)和為T_n，則當(dāng)n∈N^*，q≠1，q≠0時(shí)，T_n（q）=2q+3q²+4q³+…+nq^n-1+（n+1）qⁿ，利用錯(cuò)位相消法求和．（Ⅱ）利用待定系數(shù)法得．
解答：解：（Ⅰ），，，．…（3分）
因?yàn)閍₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a₃-a₂≠a₄-a₃，所以數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183308915692703/SYS201310241833089156927020_DA/15.png">，所以數(shù)列{a_n}也不是等比數(shù)列．…（5分）
（Ⅱ）（解法一）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，…（7分）
從而對(duì)．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．…（9分）
（解法二）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，，
得，
所以數(shù)列是每項(xiàng)均為0的常數(shù)列，
從而對(duì)，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．…（7分），，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．…（9分）
（Ⅲ）?n∈N^*，n≥2，，也適合上式．
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為．…（11分）
（解法一）設(shè)數(shù)列{（n+1）qⁿ}的前n項(xiàng)和為T_n，則當(dāng)n∈N^*，q≠1，q≠0時(shí)，T_n（q）=2q+3q²+4q³+…+nq^n-1+（n+1）qⁿ，qT_n（q）=2q²+3q³+4q⁴+…+nqⁿ+（n+1）qⁿ⁺¹，．…（12分）
∵，∴
∴．…（14分）
（解法二）利用待定系數(shù)法可得：對(duì)?n∈N^*，有，
（n+1）2^n-3=2n×2^n-3-2（n-1）2^n-4，…（12分）
從而，，…（13分）
所以．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式求解，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計(jì)算能力．