Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）判斷f（x）在[1，+∞）內單調性并用定義證明；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）要是函數(shù)有意義，只要x≠0即可；由函數(shù)奇偶性的定義，只要判斷f（-x）和f（x）的關系即可；
（II）由函數(shù)單調性的定義，在（-∞，-2）上任取兩個自變量，做差比較兩個函數(shù)值的大小即可．
（III）由（I）知f（x）是奇函數(shù)，由（II）知f（x）在[1，+∞）內是增函數(shù)．得出f（x）在[-3，-1]上是增函數(shù)從而求得其最小值．

解答：解：（I）由題意可知x≠0，
∵f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)∴f（x）是奇函數(shù)（3分）
（II）f（x）在[1，+∞）內是增函數(shù)．（5分）
證明：設x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)

(x1x2-1)

x1x2

∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[1，+∞）內是增函數(shù)．（9分）
（III）由（1）知f（x）是奇函數(shù)，由（2）知f（x）在[1，+∞）內是增函數(shù)．
∴f（x）在[-3，-1]上是增函數(shù)
∴當x=-3時，f（x）有最小值為-

10

3

（12分）

點評：本題考查求函數(shù)的定義域問題、函數(shù)單調性和奇偶性的判斷和證明，屬基本題型、基本方法的考查，難度不大．解答關鍵是對于函數(shù)的性質、概念要理解到位．