Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)時(shí)x＞0，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先利用特殊值法，求證f（0）=0，令y=-x即可求證；
（2）由（1）得f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），利用定義法進(jìn)行證明；
（3）由（2）中函數(shù)的奇偶性及已知中函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0具體化，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于k的二次不等式，解不等式即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)；
設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
∵x＞0，f（x）＞0．
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0
∴f（k3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)
∴k3^x＜-3^x+9^x+2
即（3^x）²-（k+1）3^x+2＞0
令t=3^x，則t＞0
故已知條件可化為t²-（k+1）t+2＞0在（0，+∞）上恒成立
即k+1＜t+

2

t

，t+

2

t

≥2

2

解得k＜2

2

-1
∴a的取值范圍是（-∞，-1+2

2

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)函數(shù)值的求法，單調(diào)性的判斷及單調(diào)性的應(yīng)用，其中抽象函數(shù)“湊”的思想是解答的關(guān)鍵．