Question

函數(shù)f(x)=

2

3

x3-2x2+ax+10在區(qū)間[-1，4]上有反函數(shù)，則a的范圍為是（　�。�

• A、（-∞，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、（-16，2）
• D、（-∞，-16]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：由題意說明函數(shù)在區(qū)間[-1，4]上是單調(diào)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-1，4]上的符號不變，求出a的范圍．

解答：解：因為f(x)=

2

3

x3-2x2+ax+10在區(qū)間[-1，4]上有反函數(shù)，
所以f（x）在該區(qū)間[-1，4]上單調(diào)，則f'（x）=2x²-4x+a≥0在[-1，4]上恒成立，
得a≥2或f'（x）=x²-2x+a≤0在[-1，4]上恒成立，得a≤-16．
故選D．

點評：本題考查反函數(shù)存在與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，同時也考查了二次函數(shù)、二次不等式等知識及分類討論這一重要思想方法．