Question

已知f（x）=（2x-3）ⁿ展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，且（2x-3）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求f（20）-20除以6的余數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理，由f（x）=（2x-3）ⁿ展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，可得n=9；將n=9代入（2x-3）ⁿ中，變形可得[2（x-1）-1]⁹，則a₂為其展開(kāi)式中（x-1）²的系數(shù)，由二項(xiàng)式定理可得答案；
（2）由（1）的結(jié)論，用賦值法，在（2x-3）⁹=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ中，令x=1，可得a的值，令x=2，可得a+a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，兩者相減，可得答案；
（3）根據(jù)題意，可得f（20）-20=37⁹-20，變形可得f（20）-20=（36+1）⁹-20，由二項(xiàng)式定理展開(kāi)可得f（20）-20=C₉36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36-19，進(jìn)而由整出整除的性質(zhì)分析可得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，f（x）=（2x-3）ⁿ展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，
則2ⁿ=512，解可得n=9；
（2x-3）⁹=[2（x-1）-1]⁹，則a₂=C₉⁷2²（-1）⁷=-144，
（2）在（2x-3）⁹=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ中，
令x=1，可得a=（2×1-3）⁹=-1，
令x=2，可得a+a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2×2-3）⁹=1，
則a₁+a₂+a₃+…+a_n=a+a₁+a₂+a₃+…+a_n-a=1-（-1）=2；
（3）f（20）-20=37⁹-20=（36+1）⁹-20=C₉36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36+C₉⁹-20
=C₉36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36-19；
因?yàn)椋–₉36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36）能被6整除，而-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余數(shù)為5；
則f（20）-20除以6的余數(shù)為5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，易錯(cuò)點(diǎn)為（3）中，對(duì)-19求余數(shù)，根據(jù)-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余數(shù)為5．