Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）判斷方程在區(qū)間上是否有解？若有解，說(shuō)明解得個(gè)數(shù)及依據(jù)；若無(wú)解，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，增區(qū)間為；時(shí)，區(qū)間為，減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解；時(shí)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分、求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性知時(shí)，在上無(wú)實(shí)數(shù)解，然后分、、討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求得方程在區(qū)間上解的個(gè)數(shù)．

試題解析：（1），

時(shí)，，，

時(shí)，，，

，，

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，此時(shí)無(wú)減區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上遞增，且

時(shí)，在上無(wú)實(shí)數(shù)解．

（i）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上遞增，

當(dāng)時(shí)，在上也無(wú)實(shí)數(shù)解．

（ii）當(dāng)時(shí)，在的最小值為

當(dāng)時(shí)，在上也無(wú)實(shí)數(shù)解．

（iii）當(dāng)時(shí)，在上遞減，且

又

當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，在上無(wú)實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．