Question

已知（a²+1）ⁿ（a≠0）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于（

16

5

x²+

1

x

）⁵展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n值；
（2）若（a²+1）ⁿ展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a值．

Answer 1

分析：（1）先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．
（2）根據(jù)（a²+1）ⁿ =（a²+1）⁴ 展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于

C

2 4

a⁴=54，求得a的值．

解答：解：（1）由于（

16

5

x²+

1

x

）⁵展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 5

•(

16

5

)5-r•x^10-2r•x-

r

2

=(

16

5

)5-r•

C

r 5

•x10-

5r

2

，
令10-

5r

2

=0，解得 r=4，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為

16

5

×5=16．
由題意可得 2ⁿ=16，故有n=4．
（2）由于（a²+1）ⁿ =（a²+1）⁴ 展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于

C

2 4

a⁴=54，∴a²=3，解得 a=±

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．