Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE=BC，AE⊥BE，M為CE上一點(diǎn)，且BM⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BC；
（2）如果點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ADE．

Answer 1

證明：（1）因?yàn)锽M⊥平面ACE，AE?平面ACE，
所以BM⊥AE．（2分）
因?yàn)锳E⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM?平面EBC，
所以AE⊥平面EBC．（4分）
因?yàn)锽C?平面EBC，
所以AE⊥BC．（6分）
（2）取DE中點(diǎn)H，連接MH、AH．
因?yàn)锽M⊥平面ACE，EC?平面ACE，
所以BM⊥EC．
因?yàn)锽E=BC，
所以M為CE的中點(diǎn)．（8分）
所以MH為△EDC的中位線．
所以MH∥

1

2

DC，且MH=

1

2

DC．（10分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以DC∥AB，且DC=AB．
故MH∥

1

2

AB，且MH=

1

2

AB．
因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，
所以MH∥AN，且MH=AN．
所以四邊形ANMH為平行四邊形，
所以MN∥AH．（12分）
因?yàn)镸N?平面ADE，AH?平面ADE，
所以MN∥平面ADE．（14分）