Question

已知數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2a_n（λ為正整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

解：（1）∵對(duì)于?n∈N^*，都有2a_n+1=a_n+a_n+2，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∵a₃=5，S₆=36，∴，解得．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（n∈N^*）．
（2）由（1）可得：，（λ為正整數(shù)，n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=6ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2（2n+1）-[6ⁿ+（-1）^n-1λ•2（2n-1）]
=5×6ⁿ+（-1）ⁿλ×4，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∵λ為正整數(shù)，∴b_n+1-b_n＞0成立；
當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，要使5×6ⁿ-4λ＞0恒成立，則，
∵關(guān)于n單調(diào)遞增，∴當(dāng)n=1時(shí)，取得最小值，又λ為正整數(shù)，取λ=7，6，5，4，3，2，1．
∴當(dāng)λ=7，6，5，4，3，2，1時(shí)，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．
分析：（1）利用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論，通過作差b_n+1-b_n并對(duì)n分奇偶討論即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、作差法、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．