Question

在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），P是平面上一點，使三角形PF₁F₂的周長為18．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）在P點的軌跡上是否存在點P₁、P₂，使得順次連接點F₁、P₁、F₂、P₂所得到的四邊形F₁P₁F₂P₂是矩形？若存在，請求出點P₁、P₂的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）利用橢圓的對稱性和矩形的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）依題意，|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=18，∴|F₁F₂|=8，
∴|PF₁|+|PF₂|=10，點P的軌跡是橢圓，且2a=10，2c=8，
∴a=5，c=4，b=

52-42

=3，橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，
∵PF₁F₂是三角形，點P不在直線F₁F₂上（即不在x軸上），
∴點P的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．
（2）根據(jù)橢圓的對稱性，F(xiàn)₁P₁F₂P₂是矩形當且僅當直線P₁P₂經(jīng)過原點O，且∠F₁P₁F₂是直角，此時|OP1|=

1

2

|F1F2|=4（或kP1F1•kP1F2=-1），
設P₁（x，y），則

x2 25 + y2 9 =1 x2+y2=16

，解得

x2= 175 16 y2= 81 16

，

x=± 5 7 4 y=± 9 4

，
∴有2個這樣的矩形F₁P₁F₂P₂，對應的點P₁、P₂分別為(

5 7

4

，

9

4

)、(-

5 7

4

，-

9

4

)或(-

5 7

4

，

9

4

)、(

5 7

4

，-

9

4

)．

點評：熟練掌握橢圓的定義、橢圓的對稱性和矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．