Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx(a∈R)．
（1）若a=-1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=-1時(shí)，f′(x)=x-

1

x

，x＞0，由f′（x）＞0，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）依題意得f（x）-lnx＞0，故(a-1)lnx＞-

1

2

x2，所以a-1＞(

- 1 2 x2

lnx

)max，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

x2+alnx(a∈R)，
∴若a=-1時(shí)，f′(x)=x-

1

x

，x＞0，
由f′（x）＞0，得

x2-1

x

＞0，又x＞0，解得x＞1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）依題意得f（x）-lnx＞0，
即

1

2

x2+alnx-lnx＞0(x＞1)，
∴(a-1)lnx＞-

1

2

x2
∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0
∴a-1＞

- 1 2 x2

lnx

，
∴a-1＞(

- 1 2 x2

lnx

)max，
設(shè)g(x)＞

- 1 2 x2

lnx

，g′(x)＞

-xlnx+ 1 2 x

(lnx)2

，
令g′（x）=0，解得x=e

1

2

，
當(dāng)1＜x＜e

1

2

時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，e

1

2

）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞e

1

2

時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（e

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減；
∴g(x)max=g(e

1

2

)=-e
∴a-1＞-e，即a＞1-e．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1-e，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．